Nem-stacionárius jelek vizsgálata – Examining non-stationary signals

A legutóbbi bejegyzés óta sikerült egységesíteni a tanulmányozott transzformációkról szerzett tapasztalataimat. A legfontosabb következtetés amire jutottam, az, hogy sem a Fourier-transzformáció (FFT), sem a Short-time Fourier-transzformáció (STFT), sem pedig a wavelet-transzformáció (WT) nem képes hűen tükrözni egy nemstacionárius jel tulajdonságait frekvenciatartományban, illetve idő-frekvencia tartományban. Nyilvánvaló előnyeik mellett a transzformációk a következő hátrányokkal rendelkeznek:

  1. FFT: csupán periodikus jelekre ideális, feltételezi, hogy a frekvencia komponensek végig jelen vannak a vizsgált jelben (egy ilyen jel lenne például \displaystyle x(t)=\sin(2\pi50t)+0.3\sin(2\pi5t), amelyben egyszerre van jelen egy 50 Hz-es és egy 5 Hz-es frekvencia komponens) ezért nem nem lokalizálja a frekvenciákat időben.
  2. STFT: egy időablakkal “pásztázza” végig a jelet, annak reményében, hogy lokalizálni tudja az egyes, időben korlátozott előfordulású frekvenciákat; az ablak mérete befolyásolja úgy a frekvencia-, mint az időtartomány felbontását: ha az ablak mérete nagy, a frekvenciatartomány felbontása nagy lesz, az időtartomány felbontásának róvására, míg a kis ablakméret gyenge frekvenciatartománybeli felbontást és jó időlokalizációt jelent [1].
  3. WT: a transzformáció sikere azon áll vagy bukik, hogy sikerül-e helyesen megválasztani a bázis wavelet-et, amelyet aztan kihúzva és összenyomva, illetve tologatva a jelen megkapjuk a jel wavelet-síkbeli ábrázolását, tehát szükséges a jel tulajdonságainak előzetes ismerete [2].

A fent említett problémákra megoldást jelenthetnek a nemlineáris jelekfeldolgozó transzformációk (például a Wigner-Ville eloszlás [3]) vagy jel-adaptív transzformációk, mint a Hilbert-Huang transzformáció [4]. Ez a transzformáció két lépésből áll:

  1. empirikus módusfelbontás (empirical mode decomposition – EMD): a jelet a nullaátmenetek és lokális szélsőértékpontok alapján “általánosított” harmonikusokra bontja, ún. benső módusfüggvényekre (intrinsic mode function – IMF);
  2. a kapott benső módusfüggvények Hilbert transzformációja segítségével kiszámolja azok pillanatnyi frekvenciáját és pillanatnyi amplitúdóját.

A felbontásból származó módusfüggvények olyan jelek, amelyekben egy adott időpillanatban egy adott frekvenciakomponens van jelen. Ebből kifolyólag összehasonlítható egy olyan forgómozgással, amelynek mind a szögsebessége, mind pedig az amplitúdója időben változó. A módusfüggvények pillanatnyi frekvenciájának és amplitúdójának meghatározása után az eredeti jel így kapható vissza: \displaystyle x(t)=\sum_{i=0}^{N}{a_i(t)e^{j\int{\omega_i(t)dt}}}. Ez felfogható a Fourier transzformáció általános formájaként is; a különbséget az időben változó amplitúdó és frekvencia adja.

Vizsgálataim során észrevettem, hogy a Hilbert-transzformációval meghatározott pillanatnyi frekvencia nem folytonos, időnként ugrások szakítják meg (első ábra). Más módszer után nézve az AM-FM felbontást találtam a legmegfelelőbbnek [5]. Ez a módszer egy IMF-et egy amplitúdó- és frekvenciamodulált jel szorzatának tekinti és megpróbálja szétválasztani a két jelet úgy, hogy az IMF-re egy köbös spline-t illeszt, majd elosztja vele az IMF-et és a műveletet addig ismétli, amig az eredmény egy frekvenciamodulált (FM) jel lesz, amelynek a csúcsai a [-1; 1] intervallumban vannak. Ha az eredeti IMF-et elosztjuk a kapott FM jellel, megkapjuk az amplitúdómodulált részt (AM). Az FM rész és a kvadratúrája segítségével kiszámítható az IMF pillanatnyi frekvenciája.
Azonban ez a módszer sem teljesen problémamentes. Amint a második ábra is mutatja, a spline nem mindig illeszkedik pontosan a jelre, előfordul, hogy egyes szakaszokon kisebb a jelnél, ilyenkor az FM rész nem kerül a
[-1; 1] intervallumba és ezáltal a kapott pillanatnyi frekvencia ugrásokat fog tartalmazni, hasonlóan ahhoz az esethez, amikor a Hilbert transzformáció segítségével számoltuk ki.
Ennek a problémának a kiküszöbölésére a következő algoritmust dolgoztuk ki:

  1. megkeressük azokat a szakaszokat, ahol a spline kisebb, mint a jel
  2. szakaszonként megkeressük a jel és a spline közötti legnagyobb távolságot
  3. a kapott pontot hozzáadjuk a spline-hoz
  4. a fenti lépéseket addig ismételjük, amíg a spline végig nagyobb lesz a jelnél és az FM rész a [-1; 1] intervallumba kerül.

A fenti algoritmust alkalmazva a pillanatnyi frekvencia pontosabban meghatározhatóvá válik, elkerülve a Hilbert transzformáció használatával járó műtermékeket.

grad_red_right

Since my last post I managed to unify the experiences I gained about the different transforms. The most important conclusion I have reached is that neither the Fourier transform (FFT), nor the Short-time Fourier transform (STFT), nor the wavelet transform (WT) is able to reflect intrinsic characteristics of a non-stationary signal in the frequency domain or in the time-frequency domain. Beside their obvious advantages, these transformations have the following drawbacks:

  1. FFT: ideal only for periodic signals as it assumes that the frequency components of the signal are present over the whole time span of the signal (such a signal would be \displaystyle x(t)=\sin(2\pi50t)+0.3\sin(2\pi5t), where both the 50 Hz and the 5 Hz components are available at the same time) and this is the reason why this transfrom can’t localize the frequencies in the time domain.
  2. STFT: “scans” the signal with a time window, hoping to localize frequency components that appear only in some well-defined moments in time. The size of the analyzing window affects the resolution in both the time domain and the frequency domain: if the size of the window is big, the resolution of the frequency domain will increase and the resolution of the time domain will be poor and if the size of the window is small, the time domain will have a greater resolution in the detriment of the frequency domain. This phenomenon is closely related to the uncertainty principle known in quantum mechanics [1].
  3. WT: the transformation if based on the choice of so called base wavelets which will then be stretched, compressed and scaled over the signal in order to transform it to the wavelet domain. Failing to choose an adequate base wavelet, the output of the transform will hardly be useful. This means that a priori knowledge about the signal is needed [2].

The problems presented above could have a solution when using non-linear signal processing transforms (such a transform is the Wigner-Ville distribution [3]) or signal adaptive transforms, such as the Hilbert-Huang transform [4]. The latter one is composed of two steps:

  1. the empirical mode decomposition (EMD): decomposes the signal into generalized harmonic components based on the zero crossing points and the local extrema of the signal, these components being called intrinsic mode functions (IMF);
  2. the intrinsic mode functions undergo a Hilbert transformation in order to compute their instantaneous frequency and instantaneous amplitude.

The IMFs are signals that contain only one frequency component at a given moment. This way, they can be compared to a non-uniform circular motion with variable amplitude. After the computation of the instantaneous frequency and amplitude of the IMFs the original signal may be obtained by using the formula: \displaystyle x(t)=\sum_{i=0}^{N}{a_i(t)e^{j\int{\omega_i(t)dt}}}. It can easily be observed that this is a generalization of the Fourier transform, the only difference being the time-variant amplitude and frequency.

During my investigations, I observed that the Hilbert transform based instantaneous frequency is not continuous in time, but sometimes contains spikes (as seen on middle image of the first figure). While looking for another method, I discovered the empirical AM-FM decomposition [5]. This method decomposes an IMF into an amplitude and a frequency modulated signal by fitting a cubic spline on the IMF and then dividing the IMF with the spline. This division is repeated until the reseult is a purely frequency modulated signal laying in the [-1; 1] interval. Dividing the original IMF with this frequency modulated signal (FM part) one would obtain the amplitude modulated part (AM part). Using the quadrature of the FM part, the instantaneous frequency of the IMF can easily be computed. But even this method fails sometimes as the spline may become less than the signal (as can be seen on the bottom image of the second figure), causing the FM part not to converge to the [-1; 1] interval thus introducing spikes in the final instantaneous frequency values. To solve this issue, we propose the following algorithm:

  1. look for the segments where the spline is less than the IMF signal;
  2. localize the maximal distance between the IMF and the spline for each segment;
  3. the identified maximum is added then to the trajectory of the spline;
  4. repeat the previous steps until the FM part will fit entirely in the [-1; 1] interval.

After the application of this algorithm the instantaneous frequency became much more precise than the one computed with the Hilbert transform, lacking the meaningless spikes.

Tüskés pillanatnyi frekcvenciaértékek (középső grafikon); javított pillanatnyi frekvencia (alsó grafikon)

Tüskés pillanatnyi frekcvenciaértékek (középső grafikon); javított pillanatnyi frekvencia (alsó grafikon)

A spline burkoló kisebb a jelnél (alsó grafikon).

A spline burkoló kisebb a jelnél (alsó grafikon).

Referenciák/References

  1. Gröchenig, K., 2003, Uncertainty Principles for Time-Frequency Representations in Advances in Gabor Analysis, Applied and Numerical Harmonic Analysis, pp. 11-30
  2. Tikkanen, P. E., 1999, Nonlinear wavelet and wavelet packet denoising of electrocardiogram signal, Biological Cybernetics, no. 80, pp. 259-267
  3. Yan, Y. S., Poon, C. C. Y., Zhang, Y. T., 2005, Reduction of motion artifact in pulse oximetry by smoothed pseudo Wigner-Ville destribution, Journal of NeuroEngineering and Rehabilitation, vol. 2, no. 3
  4. Huang, N. E. et al, 1998, The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis, Proceedings of the Royal Society London A no. 454, pp. 903-995
  5. Huang, N. E. et al, 2009, On Instantaneous Frequency, Advances in Adaptive Data Analysis, vol. 1, no. 2, pp. 177-229
Reklámok

Vélemény, hozzászólás?

Adatok megadása vagy bejelentkezés valamelyik ikonnal:

WordPress.com Logo

Hozzászólhat a WordPress.com felhasználói fiók használatával. Kilépés / Módosítás )

Twitter kép

Hozzászólhat a Twitter felhasználói fiók használatával. Kilépés / Módosítás )

Facebook kép

Hozzászólhat a Facebook felhasználói fiók használatával. Kilépés / Módosítás )

Google+ kép

Hozzászólhat a Google+ felhasználói fiók használatával. Kilépés / Módosítás )

Kapcsolódás: %s