Néha fent, néha lent – avagy hogyan határozzuk meg a pillanatnyi frekvenciát? – Ups and downs, or how to determine the instantaneous frequency?

A kutatás nemcsak fáradtságos munka után elért elvárt erdemények sorozatából áll – amint ez nemrég kiderült.

Az általam leadott kutatási tervben szerepelt a pillanatnyi frekvencia kiszámítási módjainak a vizsgálata. Az első negyedév elején neki is fogtam ennek a feladatnak, majd a Hilbert-transzformáció és az empirikus AM-FM felbontás tanulmányozása után elkezdtem gondolkodni egy matematikai modell megalkotásán, amely hozzásegítsen a pillanatnyi frekvencia alternatív módon való kiszámításához. Ennek érdekében a módusfüggvényeket, amelyek pillanatnyi frekvenciáját meghatározni akartam, a következő formájúaknak tekintettem ([1] alapján):  \displaystyle c(t)=a(t)\sin(2\pi\omega(t)). Mivel ez egy szinuszoidális jelforma, joggal feltételezhetjük, hogy létezik egy “kiegészítő” párja, amely koszinuszoidális (jelölje ezt  \displaystyle c_q(t)), ketten pedig egy változó amplitúdójú és körfrekvenciájú körmozgás két külön tengelyre való levetítései. A koszinuszoidális jel a szinuszoidális jel kvadratúrája, vagyis  \displaystyle \pi/2-vel késik. Idáig az ötlet megegyezik a Hilbert-transzformáció és az empirikus AM-FM felbontás alapötletével: kiszámolni valamilyen módon a módusfüggvény kvadratúráját, majd a két jel segítségével meghatározni a pillanatnyi fázist, majd a pillanatnyi frekvenciát.

A mostani bejegyzésben az egyik zsákutcát szeretném bemutatni, ami a pillanatnyi frekvencia meghatározására irányult, legközelebb pedig egy másikról fogok írni. Kezdeti törekvésem a jel energiájának a felhasználása felé irányult. Abból a feltételezésből indultam ki, hogy a jel energiája két egymás utáni pontban nagyjából ugyanaz, azaz a pillanatnyi energiaváltozás nem lehet óriási: \displaystyle E_{k+1}-E_k\approx 0, vagyis még jobban általánosítva, az teljes energia változása nulla, azaz deriváltja nulla:  \displaystyle \frac{dE_t}{dt}=0. Felírva a teljes energiát a kinetikus és a potenciális energia összegeként kaptam a következő összefüggést:  \displaystyle \frac{dE_t}{dt}=\frac{2kc\dot{c}}{2}+\frac{2m\ddot{c}\dot{c}}{2}= 0, ahol a  \displaystyle k a jel rugalmassági állandója,  \displaystyle m pedig a rezgőmozgást (körmozgást) végző test tömege. Átalakítások után kapjuk, hogy  \displaystyle k\dot{c}c+m\ddot{c}\dot{c}=0\Rightarrow\frac{k}{m}=-\frac{\ddot{c}}{c}. Azonban tudjuk, hogy a rugalmassági állandó és a tömeg aránya nem más, mint a szögsebesség négyzete, ezért  \displaystyle \omega(t)=\sqrt{-\frac{\ddot{c}(t)}{c(t)}}.

A fent levezetett képlet nem helyes bármely  \displaystyle c módusfüggvényre, pontosabban azokra, amelyeknek az amplitúdója viszonylag gyorsan változik időben. Azonban, amint azt az [2]-ben is bemutatják, a képlet alkalmazható konstans amplitúdójú és változó szögsebességű körmozgás esetén, illetve nagyon lassú változású amplitúdó esetén is. Sajnos az elektrofiziológiai jelek nagy része nem veti alá magát ennek a kitételnek, így a módszer nem alkalmazható a céljaimra.

A kudarc ellenére a befektetett idő és energia mégsem mondható elvesztegetettnek, mert így legalább megtanulhattam, hogy

  1. Nem minden olyan egyszerű, mint amilyennek tűnik;
  2. A jelek modellezése az egyik legnehezebb dolog, amivel valaha is szembesültem;
  3. Sikerült olyan elméleti tudásra szert tegyek a pillanatnyi frekvencia kiszámítását illetően, ami nem sikerült csupán cikkek és könyvfejezetek olvasása közben.

A következő bejegyzésben rátérek arra, hogy hogyan próbáltam meghatározni a módusfüggvény kvadratúráját.

grad_red_right

Research does not consist only of getting the expected results after a tiresome work – as it turned out recently.

My research plan contained the goal of studying the existing methods for computing the instantaneous frequency of a mono-component (or intrinsic mode function – IMF). At the beginning of the first trimester I started to work on this task, and after the study of the Hilbert-transform and the empirical AM-FM decomposition, I started to think about a mathematical model that would help to develop an alternative method for computing the instantaneous frequency. In order to achieve this, I considered the IMFs to be of the form (based on [1]):  \displaystyle c(t)=a(t)\sin(2\pi\omega(t)). Because this is a sinusoidal signal, it was in my right to assume that it has a signal pair, which is cosinusoidal (let this be  \displaystyle c_q(t)), and the two of them are projections of a circular motion with variable amplitude and circular velocity. The cosinusoidal signal is also called the quadrature of the IMF, i.e. there is a phase difference of  \displaystyle \pi/2 between the two of them. Up until here, the idea behind my method is the same as the one behind the Hilbert-transform and the empirical AM-FM decomposition: compute in a way or another the quadrature of the IMF, then compute the instantaneous phase which helps to obtain the instantaneous frequency.

This blog post presents one of the dead-ends I met during my work. In the next post I will present another one. First, I tried to make use of the total energy of the signal (i.e. the IMF) and I assumed that the energy must be equal in two consecutive moments, because it surely cannot vary too much (however this too much was hard to be quantified): \displaystyle E_{k+1}-E_k\approx 0. Taking a further step towards generalising, I can say that the variation of the total energy is zero:  \displaystyle \frac{dE_t}{dt}=0. Writing the total energy as the sum of kinetic and potential energies, I obtained: \displaystyle \frac{dE_t}{dt}=\frac{2kc\dot{c}}{2}+\frac{2m\ddot{c}\dot{c}}{2}= 0, where  \displaystyle k is the spring constant of the IMF and  \displaystyle m is the mass of the body that performs the circular motion. After some transforms I obtained:  \displaystyle k\dot{c}c+m\ddot{c}\dot{c}=0\Rightarrow\frac{k}{m}=-\frac{\ddot{c}}{c}. But it is known that the proportion of the spring constant and the mass gives the square of the angular velocity, thus:  \displaystyle \omega(t)=\sqrt{-\frac{\ddot{c}(t)}{c(t)}}.

The above formula is not correct in any cases. Specifically it is not correct for any \displaystyle c IMF which have a relatively quickly varying amplitude. But, as it is shown in [2], the formula can be applied for constant amplitude IMFs and for those which have slowly varying amplitudes. Unfortunately, electrophysiological signals do not obey this criterion, so this method is not useful at all for my purposes.

Albeit this is a failure, the amount of invested time and energy isn’t a total waste, as at least I learned an important lesson:

  1. Not everything is as simply as it seems at first;
  2. Signal modeling is one of the most difficult tasks I had ever met with;
  3. I managed to gain some theoretical knowledge regarding the computation of the instantaneous frequency that I couldn’t have by only reading articles and book chapters.

In the next post I will describe how I tried to determine the quadrature of the IMF.

Referencia/Reference:

  1. Huang, N. E., Wu, Z., Long, S. R., Arnold, K. C., Chen, X., and Blank, K., 2009, On Instantaneous Frequency, Advances in Adaptive Data Analysis, vol. 1, no. 2, pp. 177–229.
  2. Földvári, R., 1994, Generalized instantaneous amplitude and frequency functions and their application for pitch frequency determination, Journal of Circuits, Systems and Computers, vol. 5, no. 2, pp. 145-165
Reklámok

Vélemény, hozzászólás?

Adatok megadása vagy bejelentkezés valamelyik ikonnal:

WordPress.com Logo

Hozzászólhat a WordPress.com felhasználói fiók használatával. Kilépés / Módosítás )

Twitter kép

Hozzászólhat a Twitter felhasználói fiók használatával. Kilépés / Módosítás )

Facebook kép

Hozzászólhat a Facebook felhasználói fiók használatával. Kilépés / Módosítás )

Google+ kép

Hozzászólhat a Google+ felhasználói fiók használatával. Kilépés / Módosítás )

Kapcsolódás: %s