Egy lehetséges mód a pillanatnyi frekvencia meghatározására – A possible way of computing the instantaneous frequency

Folytatva a legutóbbi poszt gondolatmenetét, szeretném bemutatni a második utat amelyet követve abban reménykedtem, hogy sikerül egy egyszerűbb, pontosabb módon meghatározni a pillanatnyi frekvenciát.

Az alapötlet az empirikus módusfelbontásból származó benső módusfüggvények modellezése volt. Ezeket a függvényeket meg lehet feleltetni egy változó körfrekvenciájú és amplitúdójú körmozgás egyik vetületének. Ha ismernénk a másik vetületet, akkor lehetővé válna a pillanatnyi frekvencia kiszámítása. Hasonló módon működik a Hilbert transzformáció és az AM-FM felbontás is.

A körmozgás két vetülete között létezik egy összefüggés, amely egyenletes körmozgás esetén a jól ismert   \sin^2(t)+\cos^2(t)=1 egyenletre redukálódik. Általános esetben fennáll az   \displaystyle \dot{x}^2+\dot{y}^2=v^2 összefüggés, ahol x és y a körmozgás két vetülete és v a pillanatnyi sebességvektor modulusza. A két vetület deriváltja nem más, mint a sebességvektor komponensei a koordinátatengelyek szerint. Ahhoz, hogy kiküszöböljük v-t az egyenletből, felhasználhatjuk a két vetület általános alakját:   \displaystyle x(t)=A(t)\sin(\omega(t)), y(t)=A(t)\cos(\omega(t)). Innen   \displaystyle \dot{x}(t)=\dot{A}(t)\sin(\omega(t))+A(t)\dot{\omega}(t)\cos(\omega(t)) és \displaystyle \dot{y}(t)=\dot{A}(t)\cos(\omega(t))-A(t)\dot{\omega}(t)\sin(\omega(t)), ami az \displaystyle \dot{x}^2+\dot{y}^2=\dot{A}^2+\dot{\omega}^2A^2 eredményhez vezet. Ez nyilván egyenlő a sebességvektor abszolút értékének négyzetével.

A következő lépés az, hogy kifejezzük y-t x segítségével. Azonban ez a kifejezés nem enged közelebb a kvadratúra meghatározásához, mivel a kapott egyenletben két ismeretlen jelenik meg: az amplitúdó és a körfrekvencia. Ezért a következő próba a gyorsulás bevezetésére irányult, annak a reményében, hogy sikerül még egy egyenletet felírni és így meghatározni a kvadratúrát. A gyorsulás két komponensének (érintőleges és sugárirányú) kifejezése: \displaystyle a_t(t)=A(t)\dot{\omega}(t)+2\dot{A}(t)\omega(t) és \displaystyle a_r(t)=\ddot{A}(t)-A(t)\omega(t). Ha ezt a két komponenst felhasználjuk a gyorsulásvektor moduluszának kiszámításához, ahogy a két vetület (x és y) dupla deriváltjának négyzetösszegét is, egy többedrendű differenciálegyenlet lenne az eredmény, amibe x-et be lehet helyettesíteni. A legnagyobb hátránya ennek az egyenletnek az, hogy megoldásához szükség van néhány (az egyenlet rendjétől függően) kezdőértékre, ami a teljesen ismeretlen kvadratúra esetén nehézséget okoz.

A Wolfram Mathematica programcsomaggal végzett kísérletek után és tekintettel az egyenletrendszer a megszokottnál magasabb fokára, az ezen az úton való haladást elvetettem, a sokkal igéretesebb empirikus módusfelbontás javára.

grad_red_right

As a continuation of my last post, I’d like to present a second way I tried in my hope to compute the instantaneous frequency more efficiently and in a simpler manner.

The basic idea lies in the modeling of intrinsic mode functions that are the output of the empirical mode decomposition. These mode functions correspond to a projection of a non-uniform circular motion, i.e. a circular motion with variable frequency and amplitude. If the other projection of the circular motion would be known, the computation of the instantaneous frequency would become possible. The Hilbert transform or the AM-FM decomposition based methods work in a very similar manner.

A relation exist between the projections of a circular motion, which, in case of a uniform circular motion reduces to the well known equation \sin^2(t)+\cos^2(t)=1. In the general case the \displaystyle \dot{x}^2+\dot{y}^2=v^2 relation holds, where x and y are the two projections of the circular motion and v is the absolute value of the velocity vector. The derivative of the two projections are the components of the velocity vector with respect to the axes of coordinates. In order to eliminate v from the equation, the general form of the two projections have been used: \displaystyle x(t)=A(t)\sin(\omega(t)), y(t)=A(t)\cos(\omega(t)). From here, \displaystyle \dot{x}(t)=\dot{A}(t)\sin(\omega(t))+A(t)\dot{\omega}(t)\cos(\omega(t)) and \displaystyle \dot{y}(t)=\dot{A}(t)\cos(\omega(t))-A(t)\dot{\omega}(t)\sin(\omega(t)), which yields to \displaystyle \dot{x}^2+\dot{y}^2=\dot{A}^2+\dot{\omega}^2A^2. Naturally, this is equal to the square of the absolute value of the velocity vector. The next step is to find an expression for y by using x. However, this expression does not let us closer to determine the quadrature of the intrinsic mode function, because the equation contains two variables: the amplitude and the angular frequency.

Thus, the next step was to try to make use of the acceleration, hoping that this track will lead to another equation for y. The two components of the acceleration, i.e. the tangential and the radial, are: \displaystyle a_t(t)=A(t)\dot{\omega}(t)+2\dot{A}(t)\omega(t) and \displaystyle a_r(t)=\ddot{A}(t)-A(t)\omega(t). If we use these two components to compute the absolute value of the acceleration vector, as well as the second order derivatives of the two projections we would obtain a higher order, non-linear differential equation, from where y could be expressed. The major problem of this approach is that approximating the derivatives, some initial values are needed (depending on the order of the equation) which is an obvious disadvantage in the case of an unknown quadrature.

After experiments made in Wolfram Mathematica and being aware of the complexity of the equations, I gave up continuing to follow this path and turned towards the more promising empirical mode decomposition.

A körmozgás sebessége és gyorsulása. The velocity and acceleration of the circular motion. (Forrás/Source: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/22/Nonuniform_circular_motion.svg)

Reklámok

Vélemény, hozzászólás?

Adatok megadása vagy bejelentkezés valamelyik ikonnal:

WordPress.com Logo

Hozzászólhat a WordPress.com felhasználói fiók használatával. Kilépés / Módosítás )

Twitter kép

Hozzászólhat a Twitter felhasználói fiók használatával. Kilépés / Módosítás )

Facebook kép

Hozzászólhat a Facebook felhasználói fiók használatával. Kilépés / Módosítás )

Google+ kép

Hozzászólhat a Google+ felhasználói fiók használatával. Kilépés / Módosítás )

Kapcsolódás: %s